Home page |  Archivio Articoli

  Probabilità e legge dei grandi numeri
I calcoli fin qui presentati sono calcoli di probabilità classica, cioè la probabilità a priori che qualcosa possa accadere.
Ma c'è un altro approccio, di tipo empirico, che estrapola da tabelle di eventi le frequenze con cui si sono verificati.
Esiste una legge, cosiddetta dei "grandi numeri" che, messa in termini colloquiali e senza l'uso di formule matematiche, asserisce che le probabilità teoriche saranno pari alle frequenze osservate solo per un numero elevato di uscite.
In teoria solo per un numero infinito di uscite, ci sarà la coincidenza fra probabilità teoriche e frequenze sperimentali.

Se uno volesse enunciare la legge dei grandi numeri con un più corretto apparato matematico, dovrebbe dire che è possibile calcolare l'entità di quanto si discosta la frequenza effettiva dalla probabilità calcolata al variare del numero di estrazioni e che questo numero diminuirà proporzionalmente all'aumentare del numero delle estrazioni.
Non c'è qui la possibilità di discutere l'intero apparato matematico, ma il lettore sappia che è possibile trovare sorprese controintuitive da una rigorosa applicazione della legge dei grandi numeri (lo scarto proporzionalmente diminuisce, ma può aumentare in valore assoluto").

Lanciando una moneta ben bilanciata 100 volte, non bisogna quindi meravigliarsi se sono uscite 55 Teste e 45 Croci.
La frequenza dell'evento Testa in questa sequenza di lanci è 0,55, invece che come previsto con l'applicazione del calcolo delle probabilità, ma le fiuttuazioni intorno al valori visto sono possibili ed è possibile misurarne le probabilità che si verifichi in un certo intervallo ("la probabilità che si verifichi una probabilità" per gli amanti del gioco di parole).
Credere in una natura uniforme, che tende sempre a fornire eventi casuali con una frequenza pari esattamente a quanto previsto da un calcolo a priori delle probabilità, è uno degli errori concezione più comuni.
L'errore diventa pericoloso, se si comincia a credere che dopo che si sono avute 10 Teste consecutive dal lancio di una moneta, l'evento Croce sia diventato più probabile, un evento chiamato comunemente ritardatario.

E' semplice confutare questa ipotesi dei "ritardatari" riconoscendo che le monete non hanno memoria come non ce l'hanno i dadi, o la pallina della roulette.
Al prossimo lancio, la probabilità di avere sarà sempre pari a quella di avere Testa, cioè 1/2.
La critica di chi crede invece a una memoria delle monete è la seguente: "Non possono uscire 10 Teste e mai Croce, perché alla lunga devono tante Teste quante Croci.
E' quasi vero, ma quel alla lunga può significare veramente un numero molto alto di lanci, milioni, miliardi, trilioni di lanci.
Adesso sono uscite 10 Teste. Magari fra un anno usciranno 15 Croci che bilanceranno gli eventi nel lungo periodo.

Se una certa roulette ha dato 200 Rossi e 150 Neri, magari ci vorrà una settimana perché restituisca 1.050 Neri e 1.000 Rossi, o forse un anno, o 10 anni, se non 20 anni o un secolo.
Troppo spesso l'esperienza temporale del giocatore non è tale da potere vedere compensati gli sbilanciamenti di una sera.
Guardando due giocatori che stanno giocando a Testa e Croce con una moneta, può anche e che uno dei due stia vincendo, e per una forma di egualìtarismo, o di giustizia naturale, un osservatore si augura che chi ha vinto prima, poi debba perdere.
Il desiderio di una giustizia naturale non alcun influsso su ciò che faranno le monete, che avranno sempre la loro probabilità di uscita e non ricorderanno ciò che è avvenuto in precedenza.
Tutto ciò può essere descritto in maniera più sistematica con le cosiddette catene di Markov, da nome del matematico che per primo le studiò.
Si supponga di lanciare una moneta e di spostarsi in avanti se esce Testa, all'indietro, se esce Croce.
Una domanda potrebbe essere: "Dove sarà il giocatore dopo un certo numero di lanci?" Chi crede in una natura uniforme potrebbe essere portato a pensare che il giocatore sarà sempre nello stesso punto (un po' andrà avanti, un po' andrà indietro... siccome devono uscire tante Teste quante Croci, rimarrà al punto di partenza").
Alla lunga, secondo la legge dei grandi numeri, sarà anche vero, ma in dettaglio, localmente, possono avvenire molte cose.

Senza entrare in complicati calcoli, è possibile calcolare in una catena di Markov la probabilità che un certo giocatore si sposti di una certa distanza dalla posizione di partenza.
Ad esempio, è semplice capirlo per un viaggio di tre passi in avanti.
Basta che esca una sequenza Testa-Testa-Testa, cioè 1 volta su 8 se si considerino appena 3 lanci.
Se si considerano più lanci, il calcolo diventa più complesso, ma non è il caso di approfondire.
Si può poi calcolare con precisione, dato un certo numero di estrazioni, qual è la probabilità che un giocatore trascorra in vantaggio (in svantaggio) una determinata parte del suo tempo.
Chi crede in una natura uniforme sarà portato a pensare che per metà del suo tempo un giocatore sarà in vantaggio e per l'altra metà no.
Eppure, quando si studiano catene di Markov, un risultato decisamente inatteso è che è abbastanza normale trovare che gran parte del tempo un giocatore starà più avanti che indietro o viceversa.

Un giocatore che parte in vantaggio, spesso rimane in vantaggio per gran parte della parttita.
Si possono quindi misurare, sempre in termini di probabilità, le possibili fluttuazioni dei valori osservati dai valori attesi.